Mateusz Rzepecki z nagrodą za najlepszą pracę magisterską z matematyki
Pierwszą nagrodę w naszym wydziałowym konkursie na najlepszą pracę magisterską z matematyki otrzymał Mateusz Rzepecki za pracę On locally compact models of some approximate algebraic structures via model theory napisaną pod opieką Krzysztofa Krupińskiego. Praca ta wejdzie w skład obszernej publikacji napisanej wraz z promotorem.
„Approximate subgroups”, wprowadzone przez Tao, są podstawowymi kombinatorycznymi strukturami modelującymi podzbiory podobne do podgrup z dokładnością do stałego błędu i leżą w centrum kombinatoryki addytywnej. Mają one zastosowania zarówno w różnych obszarach matematyki, jak i poza nią, np. w teorii expanderów,”spectral gaps”, spacerach losowych, czy w chemii do matematycznego modelowania kwazikryształów. Przełomowym krokiem w badaniu struktury i klasyfikowaniu „approximate subgroups” było twierdzenie Hrushovskiego (uzyskane metodami teorii modeli) o istnieniu tzw. lokalnie zwartego modelu dla pewnych „approximate subgroups”. Wynik ten doprowadził m.in. do pełnej klasyfikacji skończonych „approximate subgroups” przez Breuillarda, Greena i Tao. Lokalnie zwarte modele są głównym narzędziem w większości ostatnich strukturalnych wyników o „approximate subgroups”.
W pracy autor definiuje i analizuje „approximate submodules” oraz „approximate Lie subrings”, które nie były rozważane nigdy wcześniej oraz częściowo „approximate subrings” rozważane w pracy Krupińskiego. Dla tych obiektów dowodzi istnienia drugiej teorio-modelowej spójnej składowej oraz pokazujemy, jak można ją łatwo wyrazić przy pomocy prostszych obiektów (co jest istotne z punktu widzenia kombinatoryki addytywnej). Otrzymany wzór poprawia wynik uzyskany przez Krupińskiego dla „approximate subrings” i jest optymalny w pewnym sensie. Dzięki temu autor pokazuje istnienie lokalnie zwartych modeli dla rozważanych struktur, co pozwala na klasyfikację niektórych z rozważanych struktur oraz wygląda obiecująco w aspekcie dalszych prób klasyfikacji. Dzięki dokładnej analizie spójnych składowych autor otrzymał też inne wyniki, w tym również czysto algebraiczne takie jak to, że dla każdego pierścienia R i jego podgrupy skończonego indeksu H zbiór H + H * H zawiera pewien ideał skończonego indeksu.
